INSTITUCION EDUCATIVA OCTAVIO
HARRY-JACQUELINE KENNEDY | ||
Guía de aprendizaje por núcleos temáticos |
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Docente: |
JORGE MARIO LÓPEZ GONZÁLEZ |
Período: |
3° |
Año: |
2020 |
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Grado: |
11°3 |
Áreas por Núcleos
Temáticos: |
MATEMÁTICAS,
TRIGONOMETRÍA Y CÁLCULO |
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Objetivos de grado por núcleo
temático: |
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Competencias: |
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1. CONCEPTUAL 2. PROCEDIMENTAL 3. ACTITUDINAL |
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Indicadores de desempeño: |
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(Conceptual) (Procedimental) Comprende y aplica razones
trigonométricas. (Procedimental) Resuelve triángulos acutángulos y
obtusángulos. (Conceptual) (Procedimental) Comprende y grafica
funciones trigonométricas. (Conceptual) Entiende las identidades fundamentales y
pitagóricas de la trigonometría. (Procedimental) Resuelve identidades usando las
pitagóricas y las fundamentales. (CONCEPTUAL) (PROCEDIMENTAL) Entiende y aplica dominio
y rango de funciones. (CONCEPTUAL) (PROCEDIMENTAL) Comprende y grafica
funciones. (CONCEPTUAL) Comprende el concepto de límite de una
función. (PROCEDIMENTAL) Evalúa límites de funciones. (CONCEPTUAL) Comprende el concepto de derivada. (PROCEDIMENTAL) Evalúa derivadas de diferentes
funciones. (ACTITUDINAL) Entiende la importancia de conocernos con
nuestras fortalezas y nuestras debilidades. |
FECHAS: NOVIEMBRE 1 AL 20.
La trigonometría se encarga
del estudio de los triángulos, sus medidas y sus ángulos, para esta parte
veremos lo que son las razones trigonométricas y la manera como ellas nos
ayudan a resolver problemas que comprometen triángulos de alguna manera en sus
contexto. Las razones trigonométricas son 6, y se llaman, Seno, cuyo símbolo es
Sen, Coseno, cuyo símbolo es Cos, Tangente, cuyo símbolo es Tan, Cotangente,
cuyo símbolo es Cot, Secante, cuyo símbolo es Sec, y por último, Cosecante,
cuyo símbolo es Csc.
Las razones trigonométricas
se relacionan directamente con los triángulos rectángulos, así:
Este triángulo posee unas
características especiales que debemos definir:
Es un triángulo rectángulo, ya que el ángulo C mide 90°.
El ángulo A y el Ángulo B,
son ángulos agudos, ya que miden cada uno de ellos menos de 90°, la suma del
ángulo A y el ángulo B es 90°, esto es,
a, b y c, son lados del triángulo,
a los lados a y b, se les llaman catetos,
son los lados adyacentes al ángulo recto, adyacente quiere decir que ese lado
está justo tocando el ángulo recto en este caso. Al lado c, se le llama hipotenusa,
es el lado más largo del triángulo rectángulo. Cuando estamos hablando del
ángulo A, entonces llamamos al lado a, cateto opuesto (CO) al
ángulo A, y al lado b, se llama cateto adyacente
(CA) al ángulo A. Para el ángulo B,
entonces, tendríamos al lado b,
como cateto opuesto (CO) al ángulo B,
y el lado a, entonces se llamará
cateto adyacente (CA).
Sea:
CA, Cateto Adyacente, CO,
Cateto Opuesto e H, Hipotenusa.
Razones
trigonométricas para el triángulo anterior:
Éstas junto con el
teorema de Pitágoras,
LEY DEL SENO
La ley del seno es una
serie de ecuaciones que sirven para resolver triángulos no rectángulos, esto
es, triángulos acutángulos o triángulos obtusángulos. Para un triángulo no
rectángulo.
En la ley del seno se debe recordar que se
usan ecuaciones y una ecuación es sólo una parte de esta ley que se presenta.
Así:
LEY DEL COSENO
La ley del coseno es una
serie de ecuaciones que sirven para resolver triángulos no rectángulos, esto
es, triángulos acutángulos o triángulos obtusángulos. Para un triángulo no
rectángulo.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES
Una identidad es una
igualdad que debe ser comprobada para cualquier clase de valor, por ahora vamos
a ver identidades trigonométricas, por tanto tendrán que ver con razones
trigonométricas. El objetivo es comprobar usando identidades fundamentales que
el lado izquierdo de la igualdad es igual al lado derecho de la igualdad.
Tenemos que tener en cuenta una restricción infranqueable, que no podemos pasar
nada del lado izquierdo para el lado derecho, ni viceversa, o sea, que no
podemos trabajarlo como una ecuación.
Para poder trabajar
tendremos que usar las identidades fundamentales, dadas a continuación:
FUNCIONES POLINÓMICAS:
Se presenta cuando f(x) es un polinomio cualquiera. Existen varias subclases de
funciones polinómicas y dependen del grado del polinomio.
a)
Función constante: cuando el grado del
polinomio es cero (0).
f(x) = k,
donde k ϵ R, esto es que k es un número
real cualquiera.
La gráfica de una función
constante es una línea recta horizontal que pasa por el valor y=k.
b)
Función lineal: cuando el grado del
polinomio, el exponente más grande de la x
es 1.
f(x) = mx
+ b, donde m y b ϵ R.
La gráfica de una función
lineal, es una línea recta cualquiera, que definitivamente no puede ser
vertical porque entonces no sería función, de resto cualquier línea graficada
en el plano sería función lineal. Para ésta se le llamará a m, pendiente de la función y su
valor corresponderá al grado de inclinación que tenga la función. Para graficar
es suficiente con que se le asignen dos valores distintos a la variable
independiente, x, y obtener
los valores correspondientes a la variable dependiente, y, así obtenemos dos puntos que podemos ubicar en el plano
cartesiano y así, al unirlos, obtenemos la línea recta.
c)
Función cuadrática: cuando
el grado del polinomio es 2.
f(x) = ax2
+ bx + c, donde a,b,c ϵ R.
La gráfica de una función
cuadrática se llama parábola. Para graficar una función cuadrática debemos
realizar varios pasos.
PASO1: Debemos saber si la
parábola abre hacia arriba o hacia abajo, dos únicas posibilidades.
Si a > 0, entonces la parábola abre hacia arriba.
Si a < 0, entonces la parábola abre hacia abajo:
PASO2: Debemos encontrar el
vértice, que es un punto cuyas coordenadas son (h,k) y estos valores se encuentran así:
Donde b sería el número que acompaña la x en la función, y a sería el número que acompaña la x2 en la función.
Realizando la operación
obtendríamos el valor de la coordenada h.
luego para obtener k, debemos
reemplazar h en la función, o
sea, hallar, f(h). Y así
obtendríamos el valor del vértice (h,k)
que correspondería al valor donde empieza a abrir la parábola.
PASO 3: Debemos hallar los
interceptos con el eje x, que
serían los puntos donde la parábola cruza el eje. Para hallar estos valores es
necesario solucionar la ecuación cuadrática que resulta de igual a cero la
función original, o sea, ax2 +
bx + c = 0. Ésta como ya hemos visto se puede solucionar, factorizando
el trinomio o resolviendo por la fórmula general de ecuación cuadrática vista
en guías anteriores. De ahí encontramos dos valores, o uno sólo o ningún valor.
Cuando tenemos dos valores
quiere decir que la parábola cruza el eje en dos puntos dados.
Cuando tenemos un valor
sólo, entonces esto quiere decir que ese punto es el mismo vértice y es único
punto donde la parábola toca el eje x.
Cuando no hay solución para
la ecuación cuadrática, entonces, quiere decir que la parábola no cruza el eje x.
PASO 4: Debemos hallar el
valor del intercepto con el eje y.
Para esto solamente necesitamos encontrar el punto, (0,c), donde ese valor de c se lee de la función como el término que no está
acompañado por ninguna x.
PASO 5: Por último con estos puntos que resultan
graficamos una parábola.
FUNCIONES POLINÓMICAS:
Se presenta cuando f(x) es un polinomio cualquiera. Existen varias subclases de
funciones polinómicas y dependen del grado del polinomio.
d)
Función cúbica: cuando el grado del
polinomio es tres (3).
f(x) = ax3
+ bx2 + cx + d, donde a, b, c y d, son números reales.
La gráfica de una función
cúbica ya es un poco más compleja y debemos obtener muchos puntos para lograr
identificar la manera como se comporta la función.
DOMINO DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
Para cualquier función
polinómica el domino de ellas son todos los números reales. Recuerde que el
dominio son todos los valores que puede tomar la variable independiente, o sea,
x.
RANGO O CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA
Para este caso debemos
tener en cuenta dos opciones:
Primero, si la función es
grado impar entonces el rango de la función serán todos los números reales. El
rango de una función son todos los valores que puede tomar la variable
dependiente, o sea, y.
Segundo, si la función es
de grado par, entonces debemos analizar hacia dónde abre la función y el valor
máximo, si abre hacia abajo, que posee la función o el valor mínimo, si abre
hacia arriba, que tiene la función.
FUNCIONES RADICALES:
Éstas corresponden a las
funciones que tienen de alguna manera raíces en su estructura, para entenderlas
vamos a ver la función raíz cuadrada, esto es:
DOMINO DE UNA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA:
Para cualquier función raíz
cuadrada el domino serán todos los valores que permiten que lo que se encuentra
dentro de la raíz sea mayor o igual a cero, o sea, g(x) ≥ 0, entonces, para el dominio hallamos los valores de x
que permiten que se cumpla esta restricción.
RANGO O CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA:
El rango se halla
despejando la variable x en la función, o sea, dar la función en
términos de f(x). y
luego analizando la clase de función que obtenemos podemos hallar el rango de
la misma.
Funciones racionales:
Son aquellas que presentan
divisiones donde en el denominador aparece de alguna manera la variables
independiente, o sea, x.
, donde h(x) debe ser diferente de 0.
DOMINO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL:
En este caso el domino
viene regulado por la forma de la función del numerador y sobretodo, que la
función podrá tener los valores excepto aquellos que hagan el denominador igual
a cero, por tanto deberíamos averiguar los valores que hacer que h(x)=0. Y esos valores no pueden ser tomados en el dominio.
RANGO O CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL:
Aquí debemos despejar otra vez, la variable
independiente x y analizar la función dependiendo de la forma que aparece y
decidir de la misma forma que se hace para hallar el dominio, usando los mismos
criterios, pero ahora para rango.
Actividades de profundización:
Resuelva
Los siguientes ejercicios mostrando todos los procedimientos necesarios
para explicar su respuesta.
- Una escalera de 3,2 m de
larga está apoyada sobre una pared y el ángulo que forma la escalera con
el suelo es de 35˚. Halle la medida de la altura desde el suelo hasta
donde se apoya la escalera en la pared y la distancia entre la base de la
pared y donde se apoya la escalera en el suelo, además, halle el ángulo
que forma la escalera con la pared.
- Hallar todos los lados y
ángulos desconocidos en el siguiente triángulo:
- Grafique f(x)= 3 Sen x
- Grafique f(x)= 1,5 Csc x
- Comprueba la siguiente
identidad
LA ACTIVIDAD CONSISTE EN REALIZAR LOS EJERCICIOS DE
PROFUNDIZACIÓN Y ENVIARLOS RESUELTOS CON PROCEDIMEITNOS COMPLETOS AL CORREO, jomalogo2@gmail.com. RECUERDE QUE EN EL
ASUNTO DEL CORREO DEBE ESCRIBIR NOMBRE Y APELLIDO, GRADO Y NÚMERO DE GUÍA QUE
ENVÍA.
“EL DINERO QUE SE
INVIERTE HOY EN EDUCACIÓN, MAÑANA SE AHORRARÁ EN FUERZA PÚBLICA, ABOGADOS Y
CÁRCELES”
JORGE MARIO LÓPEZ
GONZÁLEZ
